MÉTHODES pour trouver les Sextiles du Calendrier français.
Par le C. DELAMBRE.
LA manière de trouver les bissextiles dans les calendriers julien et grégorien, est extrêmement simple, parce que les intercalations s'y placent à des intervalles réglés. Il n'en est pas de même dans le calendrier français, dont les années se règlent sur l'équinoxe vrai.
La difficulté de déterminer long-tems d'avance l'instant de l'équinoxe, et par conséquent le premier jour de l'année, est l'objection la plus forte qu'on ait faite contre le nouveau calendrier. On a dit qu'il serait presqu'impossible d'ajuster à la nouvelle forme de l'année nos tables astronomiques, calculées jusqu'ici sur des années d'une longueur moyenne et invariable.
Je ne dissimulerai point cet inconvénient, contre lequel j'ai réclamé avec la plupart des astronomes; mon dessein est seulement d'examiner si, pour déterminer l'instant d'un équinoxe, il n'y a pas un moyen plus simple que le calcul direct fait sur les tables du soleil; car si l'on parvenait à fixer d'avance un grand nombre d'équinoxes, il ne resterait aucune difficulté pour construire les tables d'époques, et l'on pourrait conserver aux tables astronomiques la forme qu'elles ont eue jusqu'à présent.
Si les années étaient toutes d'une longueur égale; on pourrait, par un calcul fort simple, trouver le commencement de chacune, en partant d'un équinoxe donné.
L'année varie de longueur, à raison des équatións planétaires de la théorie du soleil, du changement de l'excentricité, et du mouvement de l'apogée, qui fait qu'au bout d'une révolution, le soleil n'ayant pas tout-à-fait la même anomálie moyenne qu'au com-mencement, l'équation du centre n'est plus tout-à-fait la même; ce qui , pour le présent, et bien des années encore, augmentera la longitude du soleil, le fera plus promptement arriver à l'équinoxe, et diminuera la longueur de l'année.
Examinons l'effet de ces différentes causes.
Suivant mes tables solaires, dont on fait usage pour la Connaissance des Tems, les inégalités du soleil peuvent aller à près de 50" en six équations. Il est presqu'impossible que toutes ces équations soient à la fois au maximum et de même signe. Supposons-le cependant, pour avoir la limite de l'incertitude.
Le soleil emploie un peu plus de 20 minutes à parcourir 50". Les équations planétaires peuvent donc avancer ou retarder un équinoxe de 20'. Le plus souvent les équations seront plus faibles et se compenseront en partie; mais il est certain qu'on ne peut répondre, à 20' près, d'un équinoxe calculé, sans tenir compte de ces équations.
L'équation du centre diminue tous les ans de 0",188 sin. z, z étant l'anomalie moyenne.
Le mouvement horaire est 147",8472 - 4",9644 cos. z. L'excès de l'année moyenne sur la vraie, est donc 0"188 sin. z 3600* à cet égard , 0",188 sin. z 3600"
147,8472 = 449644 cos. z
= 4",5776872 sin. z + 0",076855 sin. 2 z.
Le mouvement de l'apogée est de 62",146 par an. Ainsi soit A l'anomalie moyenne à l'époque de l'ère française, i le nombre d'années écoulées , on aura z = (A - i. 62",146) = (82d 31' 40" - I. 62",146 ).
Substituant cette valeur de z, développant et réduisant, on aura pour la quantité dont une année quelconque est plus courte que la moyenne 4",55863 - i. 0",0002241 à raison du changement d'excentricité.
Le mouvement de l'apogée étant de 62", 14.6 par an , à la fin d'une année quelconque l'anomalie moyenne est plus petite qu'au commencement de cette même quantité; l'équation du centre est plus faible de la variation due à 62" de diminution dans l'anomalie; l'année est accourcie de cette variation convertie en tems. Or l'équation du centre est - 1d 55' 26",352 sin. z + 72",679 sin. 2 z - &c., dont la différentielle est - 1d 55' 26" cos. z d z + 72",7 cos. 2 z d (2z), mettons pour z sa valeur ci-dessus, développons, et réduisons en tems, nous aurons
7",6816 + i. 0",015148;
réunissons cette quantité à celle qui est produite par le changement d'excentricité, nous aurons
12",2402 + i. 0",014924.
Soit a = 12",2402, et b = o",014924; la diminution sera a + i b. Ainsi nous aurons
pour la première année a + b
pour la seconde..... a + 2 b
pour la troisième..... a + 3 b.
Ainsi la diminution de la première année est a + b, la somme des diminutions des deux premières 2 a + 3 b, la somme des trois premières 3 a + 6 b, et la somme pour un nombre i d'années i. a + 1/2 i (i + 1 ) b, et la diminution annuelle par un milieu entre un nombre i d'années a + 1/2 b (i + 1) = a + 1/2 + 1/2 b.i= 12",24766 + i. o",007462; ainsi la diminution an-nuelle, par un milieu entre les roo premières années,
sera. .. 12"9939
0"7462.
Entre les 200 premières 13,7401
0"7462.
Entre les 300 premières. 14,4863
0"7462.
Entre les 400 premières. 15,2325
0"7462.
Entre les 500 premières. 15,9787
Ces quantités forment une progression arithmétique dont la différence est 50 b = 0"7462.
Il sera plus que suffisant de déterminer les équinoxes pour quatre cents ans, ainsi nous supposerons que l'année diminue de 15"2 ou en décimales de jour. 0,0001759.
L'année moyenne est de. ..... 365,2422222.
L'excès de l'année sur 365 jours
sera donc. 0,2420463.
Le quadruple est. 0,9681852.
Le quintuple. 1,2102315.
Si l'excès de l'année sur 365 jours était 0,25 au lieu de 0,2420463, il produirait un jour tous les quatre ans, et la quatrième année serait sextile invariablement. Mais, à cause des 0,0079537 qui manquent, la sextile n'arrivera quelquefois que la cinquième année.
Nous ne voulons connaitre que les sextiles, il est donc inutile de calculer tous les équinoxes; il nous suffira de les avoir de 4 en 4 ou de 4 en 5 , suivant les circonstances. Je vais donner deux méthodes pour y parvenir.
Je calcule d'abord l'équinoxe de l'an 1.er sur mes tables, en négligeant les équations planétaires, puisque nous sommes forcés de les négliger pour les suivans.
Je trouve qu'il est arrivé le premier vendémiaire, à.. . . . .... 0,3846181 tems vrai. Je compte en tems vrai le premier équinoxe, afin d'avoir aussi les autres en tems vrai; car l'équation du tems à l'équinoxe ne dépend que de l'excentricité du soleil et de l'anomalie moyenne, et la quantité dont elle varie en quatre siècles est insensible, sans quoi il n'y avait aucune difficulté à faire entrer cet élément de plus dans les déterminations précédentes.
Au premier équinoxe ajoutons le
retard annuel, ou. .. . . . . . . . . ...... 0,2420463.
Nous aurons l'équinoxe de l'an 2... 0,6266644.
Ajoutons une seconde fois la même
quantité, nous aurons pour l'an 3 .. 0,8687107.
En l'ajoutant une troisième fois,
nous aurons pour l'an 4........... 1,1107570.
Nous voyons ici un jour entier, nous le donnerons à l'année 3 qui, par conséquent, sera sextile.
A présent que nous connaissons une sextile, nous allons en déduire les suivantes, sans passer par les équinoxes intermédiaires.
Nous avons trouvé ci-dessus, que le retard pour quatre ans est 0,96818,2, et que pour cing ans il est 1,2102315; mais pour éviter le retranchement d'un jour à chaque addition, j'écrirai pour quatre ans 9,9681852, et pour cing ans 0,2102315, et j'omettrai les dixaines comme dans le calcul logarith-mique.
Voici maintenant le calcul des sextiles :
A l'équinoxe de la première sextile, j'ajoute le retard pour quatre ans; j'ai l'équinoxe de la sextile suivante, c'est-à-dire, de l'an 7 : à ce dernier j'ajoute la même quantité, j'ai l'équinoxe de l'an 11, troisième sextile; la même opération me donne celui de l'an 15, quatrième sextile. L'heure de cet équinoxe est................ 0,7732663
moindre par conséquent que..... 0,7897685
qui est le complément arithmétique du
retard pour cing ans, ou. . . . . . . . . 0,2102315.
Je vois donc que je puis ajouter le retard pour cinq ans, sans avoir un jour entier, et que la sextile sera retardée à l'an 20, ou qu'il y aura un intervalle de cinq ans.
Après l'an 20, je recommence à ajouter le retard de l'équinoxe pour 4 ans, et marquer les sextilés de 4 en 4 jusqu'à ce que j'arrive à un nombre au-dessous de 0,7897685, ce qui a lieu à l'an 48; alors j'ajoute le retard pour cing ans, et la sextile suivante tombe sur l'an 53; après quoi je recommence, et ainsi de suite jusqu'à l'an 400.
Quoique ce calcul soit extrêmement simple, il est bon de le vérifier à certains intervalles; ou au moins en finissant. Ainsi, pour vérifier l'an 172 à l'équinoxe de l'an 3 ou. .. . . . ........ 0,8687107
j'ajoute 100 fois le retard annuel ou. . 24,2046300
60 fois ce même retard ou. . 14,5227780
9 fois ce même retard ou. . 2,1784167
169...・・・・・・. 41,7745354
le nombre entier 41 fait voir que l'an 172 est la 41.e sextile après l'an 3 , c'est-à-dire, la 42.e de l'ère française; et la fraction 0,7745354 est l'équinoxe de l'an 172, c'est ce qu'avait donné le calcul précé-dent, qui, par-là, se trouve vérifié.
Le nombre 169 = 172 - 3, se trouve en retranchant l'année de départ de celle qu'on veut vérifier.
J'ai vérifié de cette manière l'an 324, en partant de 172; et l'an 400, en partant de 334 : on peut vérifier le tout en partant de l'an 1.
Année de départ. 1. 0,3846181
Pour...... 300 .. 72,6138900
Pour. 90. 21,7841670
Pour. ... 9. 2,1784167
Sommes. . . . . . . 400 ..... 96,9610918
Nous aurons donc 97 sextiles dans ces 4 premiers siècles.
On verra dans la page suivante les additions jusqu'à l'an 4oo, des nombres qui répondent à 4 ans et à 5 ans alternativement; car à la seconde ligne on voit le nombre 9,96818,2 qui donne 4 ans, et à la sixième ligne le nombre 0,2102315 qui donne s ans; nous n'avons marqué que deux fois 4 et s , puisqu'on voit facilement par la répétition des mêmes nombres, et par les sommes qui en résultent, quels sont les endroits où il y a 4 et ceux où il y a 5.
Il serait facile de prolonger cette table pour les siècles suivans, mais ceci suffira bien pour servir d'exemple.
TABLE 326–327
On voit, en parcourant la table précédente, que le retard de la sextile revient après des périodes de 29 et 33 ans; jamais moins que 29 ou plus que 33; excepté avant l'an 20, parce que l'ère française commence au milieu d'une de ces périodes. Il est aisé d'en sentir la raison.
Si l'on réduit en fraction continue le retard moyen de l'équinoxe 0,2422222, on aura pour approximations successives, les fractions 1/4, 7/29, 8/33, 31/128, 39/161, et enfin 109/450 valeur exacte.
La première fraction suppose le retard de 6h justes; ce qui est beaucoup trop: elle fait cependant que les sextiles reviennent le plus souvent de 4 en 4 ans.
La seconde 7/29, donne 7 sextiles en 29 ans; elle suppose 5h 47' 35" de retard, et c'est trop peu.
La troisième 8/33 donne 8 sextiles en 33 ans; elle suppose 5h 49' 6" de retard, et c'est trop.
Ce n'est donc pas assez que la sextile retarde une fois, en 33 ans, et c'est trop d'une fois en 29 ; voilà pourquoi les retards arrivent quelquefois après 29 et quelquefois après 33 ans.
Le retard moyen de l'équinoxe est 5h 48' 48" à-peu-près; mais le retard moyen des quatre premiers siècles est, suivant les calculs précédens, plus faible de 15", ou 5h 48' 33", ce qui tient presque le milieu entre 5h 47' 35", et 5h 49' 6"
Il suffit de connaître les années où la sextile éprouve ce retard; car à partir de là on a toujours six ou sept sextiles espacées de 4 en 4 ans; ainsi connaissant que deux retards successifs ont lieu en l'an 20 et en l'an 53, on en conclut que les sextiles intermédiaires sont 24, 28, 32, 36, 40, 44 et 48; connaissant que le retard suivant tombe sur 82, on aura pour sextiles intermédiaires, 57, 61, 65, 69, 73 , 77.
Il s'agit de démêler dans quelles circonstances la période doit être de 29 ou de 33 ans.
29 retards annuels de l'équinoxe, ou
29 x 0,2420463 = 7,0193427
ou rejetant les jours entiers..…. 0,0193427
c'est ce qu'il faut ajouter pour 29 ans, qui donnent 7 sextiles; et comme la somme ne doit pas faire un jour entier, il faut, pour que la période soit de 29 ans, que l'équinoxe du départ soit moindre que 0,9806573, complémént du retard pour 29 ans; c'est ce qui a lieu en 53, 115, 210, 272 et 367; ainsi ces années commenceront des périodes de 29 ans.
Les 33 retards annuels ou 33 x 0,2420463 = 7,987$279, ou rejetant les entiers 0,98752791; c'est ce qu'il faut ajouter pour 33 ans, si l'équinoxe du départ est 0,9806573 ou au-dessus.
Voici donc la règle de ces périodes. Si l'équinoxe d'une sextile retardée est au-dessous de 0,9806573, la période sera de 29 ans, sinon elle sera de 33.
Cette considération abrège singulièrement les calculs.
ÉQUINOXES. SEXTILES retardées.
L'équinoxe de l'an 10, première
sextile retardée, est.. 0,9834978.. 20
Il est au-dessus de la limite;
j'ajoute donc pour . . 33 ans. . . 9,9875279
Celui-ci est au-dessous. 0,9710257. 53
etc…..
TABLE 329–330
Connaissant par ce calcul toutes les sextiles retardées, on en déduira facilement les intermédiaires, qui se suivent. de 4 en 4 ans.
TABLE 331
Tous ces équinoxes ont été déterminés en négligeant les petites équations du soleil, et nous avons dit que ces équations pouvaient accélérer ou retarder l'équinoxe de 20' = 0,0138888 &c.
Supposons que les équations retardent l'équinoxe de 20', il faudra ajouter 0,014 à l'heure de l'équinoxe trouvé par notre opération. Si cette addition peut se faire sans que la somme soit un entier, la sextile est sûre. Ainsi, dans les années 20, 53, 115, 777, 210, 272, 334, 367 et 429, il n'y a aucun doute, ces années seront sextiles. Mais en 82, 144, 239, 301, 396, 458, 491, si l'équinoxe est retardé de 20' par les perturbations, l'heure de l'équinoxe passera 24h, il y aura un jour de plus à donner aux années 81, 1433 238, 300, 395, 457 et 490, qui seront sextiles, et alors 82, 144, &c. seront communes. Ce doute ne peut être levé que par le calcul des perturbations; il a lieu pour tous les équinoxes qui surpassent 0,986. J'ai marqué du signe — toutes ces sextiles qui pourraient être reportées sur l'année qui les précéde:
Supposons maintenant que les perturbations avancent l'équinoxe, il faudra retrancher 0,014 de l'heure du calcul; mais il ne faut pas que le reste soit au-dessous de 0,7579537, sans quoi la sextile serait rejetée à l'année suivante. Il y aura donc quelque doute sur la sextile, quand l'équinoxe ne passera pas 0,772, par conséquent sur celles des années 48, 110, 205, 267 et 362, que j'ai marquées du signe +, parce que la sextile pourrait être retardée jusqu'à l'année suivante, c'est-à-dire, 49, 111, &c.
Il suffira le plus souvent de connaitre le signe des perturbations pour lever ce doute.
Si la somme des perturbations est additive , elle augmentera la longitude du soleil, avancera l'équi-noxe; le doute s'évanouira dans les années marquées -, mais il augmentera pour les années marquées +, et alors il faudra nécessairement achever le calcul.
Si elles sont négatives, elles dissiperont le doute dans les années marquées +, et l'augmenteront dans les autres. En général, si elles sont d'un signe contraire à celui qui marque l'année, elles dissiperont le doute; si elles sont de signe pareil, elles rendront le calcul entier nécessaire.
J'ai fait ces calculs , et je n'ai trouvé dans les quatre premiers siècles aucune sextile à déplacer , par l'effet. des perturbations; mais les équinoxes des années 144, 301 et 362. arriveront si près de minuit, qu'on ne pourra peut-être jamais sayoir, même après l'obseryation, quel jour précisément ils seront arrivés. C'est-là le défaut véritable du calendrier français. Il faudra s'en tenir au résultat du calcul, et ce résultat est encore subordonné au degré de précision que peuvent avoir les tables.
Quand on calcule les équinoxes de toutes les sextiles, il est aisé, par ce qui précède, de distinguer celles qui sont douteuses; quand on ne calcule que, les sextiles, retardées par les périodes de 29 et 33 ans, on ne voit que les sextiles douteuses, en — ; mais il est aisé d'en conclure celles qui sont douteuses en +, car ces dernières précèdent toujours de cing ans une sextile retardée , en sorte que le doute en général ne porte que sur l'année où le retard doit s'opérer.
Le doute en + a lieu quand l'équinoxe ne passe pas . . .0,772.
Le mouvement pour cinq ans, est..... 0,210.
Ainsi, quand un équinoxe ne surpasse pas 0,982, la sextile qui précède de cinq ans est douteuse. C'est ce qui a lieu pour (53 - 5) = 48, (115 - 5)
= 110; (210 - 5) = 205, (272 - 5) = 267, (367 - 5) = 367, (429 - 5) = 424. Dans ce cas on calcule pour l'année qui précède de 4 ans seulement au lieu de 5, c'est-à-dire pour 49 , 111, 206, 268, 363 et 425; alors, si les équinoxes calculés rigoureusement tombent avant 0,242, les années précédentes, c'est-à-dire 48; 110, &c. seront sextiles. S'ils tombent dans le dernier quart, ce sera l'année pour laquelle on calcule qui sera sextile.
Pour trouver directement l'équinoxe d'une année quelconque, sans passer par les intermédiaires, ou en général pour trouver l'entrée vraie du soleil dans un signe quelconque, on peut employer la formule suivante, qu'on peut aisément mettre en tables.
Quand le soleil moyen entre dans un signe quel-conque, il s'en faut de toute l'équation du centre que le soleil vrai n'entre dans ce même signe. L'intervalle de tems entre l'entrée du soleil vrai et du soleil moyen, au même signe, est égal à l'équation du centre calculée pour l'entrée du soleil moyen, et convertie en tems.
Le mouvement horaire vrai = 147",8472 - 4”,9644 cos. z + 0",1042 cos. 2z - 0",002 cos. 3z.
Le mouvement' pour 1" de tems = 0",04106867 - 0",00137933 cos. z + 0",00002894 cos. 2 z - 0",00000055 cos. 3z.
L'intervalle cherché sera donc …..
divisant, développant et réduisant, j'ai trouvé 168730"4 sin. z + 1064"4 sin. 2 z - 15"8 sin. 3 z + 0"98 sin. 4 z - I. 4”57778 sin. z. Cette quantité ajoutée au tems moyen de l'entrée du soleil moyen dans un signe ou dans un degré quelconque, donnera le tems moyen de l'entrée du soleil vrai dans le même signe ou le même degré.
A l'équinoxe et au solstice, l'équation du tems n'a qu'une partie = -1/15 ( équation du centre) = +461"8 sin. z - 4"8 sin. 2 z + 0"7 sin. 3 z - i. 0”0125 sin. z.
Ajoutons cette série à la précédente, et nous aurons 169192"2 sin. z＋1059"6 sin. 2z ー15"1 sin. 3 z + 0”92 sin. 4 z - i. 4"59 sin. z, ou, en décimales de jour, 1j95824"3 sin. z + 1226"4 sin. 2 z ー 18'2 sin. 3 z + 1”134 sin. 4 z - i. 5”284 sin. z.
Cette quantité ajoutée au tems moyen de l'équinoxe ou du solstice moyen , donnera le tems vrai de l'équinoxe ou du solstice vrai. Pour les 8 autres signes, il faudrait encore ajouter la seconde partie de l'équation du tems, c'est-à-dire, -1/16 (réduction à l'équateur ).
Cette formule nous fournit donc un nouveau moyen de déterminer un équinoxe et une sextile quelconque. A cef effet j'ai construit quatre tables , dont voici l'explication et l'usage :
La table I est celle des époques. Elle donne pour l’an 1 le tems moyen de l'entrée du soleil moyen dans chaque signe; ce tems est compté de minuit, et exprimé en décimales.
A côté on trouve l'anomalie moyenne du soleil pour le jour correspondant, exprimée en degrés décimaux et comptée du périgée , au lieu que dans la formule ci-dessus, les z étaient comptés de l'apogée.
Pour les compter du périgée, il suffit de changer tous les signes.
La dernière colonne donne la seconde partie de l'équation du temis. La première partie est fondue dans la table III.
La table Il donne ce qu'il faut ajouter aux épo-ques, si l'on veut avoir, pour une année quelconque , l'entrée du soleil moyen au même signe avec l'anomalie moyenne correspondante.
La table III, construite sur la fomule ci-dessus, (en changeant les signes) donne la quantité dont l'entrée du soleil vrai au même signe précède ou suit l'entrée du soleil moyen. Elle donne à part l'effet du changement d'excentricité pour 100 ans.
Exemple I. On demande l'équinoxe vrai de l'an 1, ou l'entrée au signe ♎️.
Époque. Anom. moy.
La table I donne - 1,550 289,601
La table III . . . . + 1,936
Équinoxe vrai . . . . . 0,386 ; [= 9ʰ 15' 50" du matin vieux style]
ce qui fait voir que l'équinoxe vrai a suivi le commencement de l'année de 0ʲ386, ou qu'il est arrivé le 1.ᵉʳ vendémiaire à 3ʰ 86’. [nouv. style 9ʰ 15' 50" du matin vieux style du 22 jan 1792]
Exemple II. On demande l'entrée du Soleil au signe ♒️ pour l'an 4.
Table I….. 120,197 022,928
Équation du tems. . - 7
Entrée au signe du ♒️ . 120,236.
Les 120 jours font quatre mois complets ; la fraction 0,236 appartient au premier jour du cinquième mois, ou au premier pluviôse.
Exemple III. On demande l'équinoxe d'automne pour l'an 30.
Table I…….. - 1,550 289,601
Variat. pour 30 ans. - 2
Équinoxe de A an 30……7,405.
Les 7 jours indiquent qu'il y a eu sept sextiles avant l'an 3o, et que l'équinoxe est arrivé le 1.er vendémiaire à 4h 5' ; enfin l'équinoxe arrivant dans le second quart du jour, fait voir que l'an 30 est la seconde année après la sextile qui a eu lieu en 28.
Exemple V. On demande l'équinoxe de ♎️ , an 49.
Table I.. - 1,550 289,601
Table II. 49 ans. 11,627 399,079
Table III. + 1,931 288,680
Variat. pour 49 ans. - 2
Équinoxe ♎️, an 49. 12,006.
Il y a donc eu 12 sextiles avant 49. L'équinoxe tombe dans le premier quart du jour , ainsi 49 suit une sextile. 48 sera donc sextile, et la sextile suivante sera 53 et non 52, parce qu'à l'équinoxe de l'an 49 on peut ajouter 0,968, mouvement pour 4 ans, sans avoir un jour entier.
Exemple VI. On demande l'équinoxe de l'an 82.
Table I.............. 1,550 289,601
Table II. 82 ans. .. . .. 19,620 398,446
Table III. . . . . .... + 11,928 288,047
Variat. 82 ans. . . . .. 4
Équinoxe A , an 82....19,994.
Il y aura donc 19. sextiles avant 82, et 82 sera la 20.e sextile , car l'équinoxe est tout près de minuit.
Exemple VII. Équinoxe de l'an 110.
Table I. ... - 1,550 289,601
Table II, 100 ans. 24,222 398,081
10 ans. . 2,180 399,827
Table III. + 1,926 287,599
- 6
Équinoxe ♎️, an 110... 26,772.
Il y a eu 26 sextiles avant 110. L'an 110 est sextile, et l'an 115 le sera pareillement, parce qu'on peut ajouter le mouvement pour 5 ans ou 0,210, sans avoir un jour entier.
Ces tables feront donc trouver, par un calcul très-simple,
1.° L'équinoxe d'une année quelconque, et généralement l'entrée du soleil dans un signe quelconque;
2.° Combien il y aura eu de sextiles avant l'année pour laquelle on calcule; le nombre des sextiles qui auront précédé sera toujours égal au nombre de jours entiers trouvé par le calcul;
3.° Si l'année proposée est séxtilé , car alors l'équinoxe tombera entré 0,758 et 1,0;
Si l'année proposée suit, une sextilel, car alors l'équinoxe tombera entre 0,0 et -0,242 ;
Si l'année proposée est placée deux ans après la sextile, car alors l'équinoxe tombera entre 0,242 et 0,484;
Si l'année proposée vient trois ans après une sextile, car alors l'équinoxe sera entre 0,484 et 0,726;
Si l'année proposée vient quatre ans après une sextile., car alors l'équinoxe sera entre 0,726 et 0,968;
Si l'année proposée vient cinq ans aprés une sextile, car alors l'équinoxe sera entre 0,968 et 1,0.
Dans ce dernier cas, on sera sûr au moins de six sextiles après l'année proposée, qui sera sextile elle-même; les six sextiles suivantes se succéderont de quatre en quatre ans.
Enfin ces tables donneront, pourtun tems indéfini, les sextiles du calendrier français , sauf les erreurs des élémens du soleil et les perturbations qui ont été négligées.
L'usage de ces tables est plus sûr que la formule approximative employée ci-dessus pour déterminer les sextiles. Au reste, la formule et les tables s'accordent aussi bien qu'on puisse l'attendre. Pour le prouver, calculons par les tables l'équinoxe de l'an 524, le plus éloigné de ceux que hous avons calculés par la formule.
Table I......... - 1,550 289,601
Table II. 500 ans. 121,111 390,406
24 ans. 5,571 399,559
Table III. + 1,866 279,566
Variat. pour 524 ans. - 26
Équinoxe de' 524.. 126,972
La formule avait donné. 0,9748
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TABLES pour trouver, dans une année quelconque, le tems vrai de l'entrée du Soleil dans les douze signes du Zodiaque, et particuliènement les sextiles du Calendrier français.
TABLE I, ou Table des Époques.
TABLE II. Mouvement pour les années.
Le mouvement pour 100 ans est marqué de deux manières dans cette table. La première ne sert que pour calculer l'entrée du soleil dans les signes pour l'an 100 seulement. La seconde manière servira pour toutes les années suivantes, c'est-à-dire, quand on prendra en plusieurs parties le mouvement pour ces années. La raison en est, que le mouvement des cent premières années a été diminué du mouvement pour un an; par exemple, le mouvement pour 35 ans, dans les tables, est véritablement le mouvement de 34; ainsi des autres.
Mais le mouvement pour les siècles, à la fin de la table, n'a point été diminué. Cette diminution dans les cent premières années a été faite pour simplifier le calcul.
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TABLE III.
Différence entre le tems moyen de l'entrée du Soleil moyen aux signes du Zodiaque, et le tems vrai de l'entrée du Soleil vrai aux mêmes signes.
Au moyen des règles précédentes, on peut donc calculer d'avance, pour un tems assez long, les sextiles du calendrier français, et conserver à nos tables astronomiques leur forme accoutumée. Cependant il eût été à désirer qu'on eût conservé l'année moyenne, et fixé d'une manière invariable les intercalations. J'avais donné pour cela trois projets.
Le premier était de conserver l'intercalation gregorienne, qui donne une sextile de 4, en 4 ans pour les années ordinaires, et de 400 en 400 ans pour les années séculaires; mais comme cette règle suppose l'année trop longue, je proposais de supprimer la sextile de l'an 3600 et de ses multiples.
Le second était de placer une sextile tous les quatre ans dans les années ordinaires. Dans les années sécu-laires, les sextiles seraient revenues après 400 et 500 alternativement, et seraient tombées sur les années 400, 900, 1300, 1800, &c. en sorte que pour reconnattre une sextile séculaire, il faudrait diviser par 9 le nombre des siècles. Si le reste de la division était 0 ou 4, l'année serait sextile. Si le reste était un autre nombre, l'année serait commune.
Le troisième projet était d'omettre la, sextile séculaire en l'an 4000 et dans tous ses multiples, mais l'erreur aurait été d'un jour en 400000 ans ; pour la corriger, il aurait fally réduire l'an 400000 et ses multiples à 364 jours.
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